放射性核種の平均寿命について(その2)


前回はこちら

\(N_t=N_0e^{-\lambda t}\cdots(1)\)
上式から各核種が壊変するまでの時間の和核種数を求めていきます。

まず壊変するまでの時間の和です。
時刻tからt+dtの微小時間dtの間の放射能は下式で表されます。
$$A_t=\left|\frac{dN_t}{dt}\right|=\lambda N_t$$
よって、dtの間の壊変数は
$$\lambda N_t \times dt$$
この数の原子が時刻tで壊変するから、dtの間の原子の壊変するまでの時間の和は
$$t\times \lambda N_t \times dt$$
これを全ての原子について考えるから、tが0から無限大まで積分して、
$$\int_{0}^{\infty} t\times \lambda N_t \times dt$$
(1)式を代入して、
$$\int_{0}^{\infty}t\times \lambda N_0 e^{-\lambda t} \times dt\\=-N_0 \int_{0}^{\infty}t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t} \right) dt\cdots(2)$$
ここで、
$$\int_{0}^{\infty}t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t} \right) dt\\=\left[te^{-\lambda t}\right] _{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} dt\\=\left[te^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} +\frac{1}{\lambda}\left[e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty}\cdots(3)$$
ここで、
$$\displaystyle \lim_{t \to \infty} te^{-\lambda t}=0\\\displaystyle \lim_{t \to \infty} e^{-\lambda t}=0$$
ですので(3)式は
$$\left(0-0\right)+\frac{1}{\lambda}\left(0-1\right)=-\frac{1}{\lambda}$$
したがって(2)式より、
$$\int_{0}^{\infty}t\times \lambda N_0 e^{-\lambda t} \times dt=-N_0\times\left(-\frac{1}{\lambda}\right)=\frac{N_0}{\lambda}$$
よって、全ての原子の壊変するまでの時間の和を取ると、\(\frac{N_0}{\lambda}\)である。

そして原子数は\(N_0\)であるため、原子1個当たりの平均を取ると、
$$\frac{N_0}{\lambda}\div N_0=\frac{1}{\lambda}$$
これが平均寿命である。

平均寿命は\(\tau\)で表され、
$$\tau=\frac{1}{\lambda}$$
となる。

\(N_t=N_0 e^{-\lambda t}\)に\(t=\tau\)代入すると、
$$N_{\tau}=N_0 e^{-\lambda \tau}=N_0 e^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda}}=N_0 e^{-1}=N_0 \times \frac{1}{e}$$

よって、平均寿命が経過すると原子数が\(\frac{1}{e}\)になることが分かる。

いかがでしたでしょうか。
平均寿命はこのように計算で求まる値になっていますので、その由来について覚えておいて損はないと思います。
式の羅列になってしまい、多少分かりづらかったかも知れません。おおよその計算方法は示しましたので、自分でも解いてみるとより知識が定着すると思います。

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