2009年 京都大学 物理 2-1【大学入試】

今回もサイクロトロンに関する入試問題を解説していきたいと思います。

穴埋め

荷電粒子が電場中で得られるエネルギーは$qV$
よって速度$v$は、運動エネルギーの式から、
$\frac{1}{2}m{v}^2=qV\\v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}\cdots(イ)$

ローレンツ力と遠心力のつり合いから、半径$r_1$は
$qvB_0=m\frac{{v}^2}{r}\\r=\frac{mv}{qB_0}=\frac{m}{qB_0}\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\frac{1}{B_0}\sqrt{\frac{2mV}{q}}\cdots(ロ)$
(ちなみに、「ローレンツ力と遠心力のつり合い」という表現は回転座標系の話で、静止座標系では「円運動の運動方程式」とする必要があります)

時間を求めるには距離を速度で割ればいいので、
$T_0=\frac{\pi r}{v}$
(ロ)の式から、
$\frac{r}{v}=\frac{m}{qB_0}$
よって、
$T_0=\frac{\pi m}{qB_0}\cdots(ハ)$

半径$R$のときの速度を$v_0$とすると、運動方程式から
$qv_0B_0=m\frac{{v_0}^2}{R}\\v_0=\frac{qB_0R}{m}\cdots(ニ)$

この時のエネルギーは、
$\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{q^2{B_0}^2R^2}{2m}\cdots(ホ)$

1回電極間を通過すると$qV[J]$のエネルギーを得るから、n回だと$nqV$となります。
よって(ホ)のエネルギーを得るために必要な回数は、
$nqV=\frac{q^2{B_0}^2R^2}{2m}\\n=\frac{q{B_0}^2R^2}{2mV}\cdots(ヘ)$

問1

少し感覚的な話になるのですが、円運動で速度が上がった場合、中心に引っ張る力を強くしなくてはいけないのは、何となく想像できるでしょうか。
ですので、粒子が電極間で加速されても同じ軌道を維持するためには、ローレンツ力を大きくしなければいけません。
ローレンツ力の式は$F=qvB$ですが、電荷qは粒子依存ですし、粒子の速度vは電極間で得るエネルギーに依存するので、磁束密度Bを調整する必要があります。

$(n+i)$回加速後の速度を$v_i$、磁束密度を$B$とすると、運動方程式は、
$qv_iB=m\frac{{v_i}^2}{R}\\B=\frac{mv_i}{qR}\cdots(1)$
$v_i$が求まれば計算できそうですね。
空欄(ホ)の時の式から、運動エネルギーは、
$\frac{1}{2}m{v_i}^2=\frac{q^2{B_0}^2R^2}{2m}+iqV\\{v_i}^2=\frac{q^2{B_0}^2R^2}{m^2}+\frac{2iqV}{m}\cdots(2)$
式(1)の両辺を2乗して、式(2)を代入すると、
${B}^2=\frac{m^2{v_i}^2}{q^2R^2}\\=\frac{m^2}{q^2R^2}\left(\frac{q^2{B_0}^2R^2}{m^2}+\frac{2iqV}{m}\right)\\={B_0}^2+\frac{2imV}{qR^2}$
$B=\sqrt{{B_0}^2+\frac{2imV}{qR^2}}$

電極間を通過するたび、すなわち粒子が軌道を半周するたびに電圧の向きを変える必要があります。
$(n+i)$回加速後の速度を$v_i$として、半径Rの軌道を半周するのに要する時間$T$は、
$T=\frac{\pi R}{v_i}\cdots(3)$
(ニ)より、
$T_0=\frac{\pi R}{v_0}\cdots(4)$
(3)、(4)を辺々割って、
$\frac{T}{T_0}=\frac{\frac{\pi R}{v_i}}{\frac{\pi R}{v_0}}\\ \frac{T_0}{T}=\frac{v_i}{v_0}$
両辺2乗して、
$\frac{{T_0}^2}{T^2}=\frac{{v_i}^2}{{v_0}^2}=\frac{\frac{q^2{B_0}^2R^2}{m^2}+\frac{2iqV}{m}}{\frac{q^2{B_0}^2R^2}{m^2}}=1+\frac{2imV}{q{B_0}^2R^2}$
よって、
$T^2=\frac{{T_0}^2}{1+\frac{2imV}{q{B_0}^2R^2}}\\T=\frac{T_0}{\sqrt{1+\frac{2imV}{q{B_0}^2R^2}}}$

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