交流の消費電力(その1)


先の記事では電流と電圧が位相差が無い場合の消費電力から実効値の解説をしました。
しかし、国試の計算問題では位相差があるときの消費電力を求める問題も出題されます。
今回は位相差がある場合の消費電力を計算してみます。

正弦波交流電圧、電流を位相差\(\theta\)として次のようにおきます。
$$v=V_psin\omega t\\i=I_psin\left(\omega t-\theta\right)$$

電力Pは次のように計算されます。
$$P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}vidt\\=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_psin\omega t\times I_psin\left(\omega t-\theta\right)dt\\=\frac{V_pI_p}{T}\int_{0}^{T}sin\omega t\times sin\left(\omega t-\theta\right)dt$$
ここで加法定理より、
$$\int_{0}^{T}sin\omega t\times sin\left(\omega t-\theta\right)dt\\=\int_{0}^{T}sin\omega t\times \left(sin\omega t cos\theta-cos\omega t sin\theta\right)dt\\=\int_{0}^{T}\times \left(sin^2\omega t cos\theta-sin\omega t cos\omega t sin\theta\right)dt\\=\int_{0}^{T}\times \left(\frac{1-cos2\omega t}{2}\times cos\theta-\frac{sin2\omega t}{2} sin\theta\right)dt$$
正弦波を1周期にわたって積分すると0になるから、
$$\int_{0}^{T}\times \left(\frac{1-cos2\omega t}{2}\times cos\theta-\frac{sin2\omega t}{2} sin\theta\right)dt\\=\int_{0}^{T}\frac{1}{2}\times cos\theta dt=\frac{cos\theta}{2}\int_{0}^{T}dt=\frac{cos\theta}{2}\times T$$
よって、
$$P=\frac{V_pI_p}{T}\times\frac{cos\theta}{2}\times T\\=\frac{V_p}{\sqrt2}\frac{I_p}{\sqrt2}cos\theta=\left(\frac{I_p}{\sqrt2}\right)^2Rcos\theta=\left(\frac{V_p}{\sqrt2}\right)^2\frac{1}{R}cos\theta$$
実効値\(V_e=\frac{V_p}{\sqrt2}\)、\(I_e=\frac{I_p}{\sqrt2}\)より、
$$P=V_eI_ecos\theta=I_e^2Rcos\theta=\frac{V_e^2}{R}cos\theta$$
ここで位相差\(\theta\)に対する余弦\(cos\theta\)を力率と言います。
力率に関してはまた別の機会に解説したいと思います。

したがって、正弦波交流の消費電力は電圧・電流の実効値、力率の積で表されることが分かります。
今回の解説は以上となります。

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