コンプトン散乱の式(その2)


今回は前回立てた下式をただただ解いていきます。
$$E_0+m_0c^2=E+E_e\cdots\left(1\right)\\0=\frac{E}{c}sin\theta-P_esin\phi\cdots\left(2\right)\\\frac{E_0}{c}=\frac{E}{c}cos\theta+P_ecos\phi\cdots\left(3\right)\\\left(\frac{E_e}{c}\right)^2-{P_e}^2={m_0}^2c^2\cdots\left(4\right)$$

(2)式、(3)式を変形して、
$$Esin\theta=P_ecsin\phi\\E_0-Ecos\theta=P_eccos\phi$$
2式の両辺を2乗して足すと、
$$E^2sin^2\theta+{E_0}^2-2E_0Ecos\theta+E^2cos^2\theta={P_e}^2c^2sin^2\phi+{P_e}^2c^2cos^2\phi\\{P_e}^2c^2={E_0}^2+E^2-2E_0Ecos\theta\cdots\left(5\right)$$
(4)式より、
$${P_e}^2=\left(\frac{E_e}{c}\right)^2-{m_0}^2c^2\\{P_e}^2c^2={E_e}^2-{m_0}^2c^4\cdots\left(6\right)$$
(5)式、(6)式より、
$${E_e}^2-{m_0}^2c^4={E_0}^2+E^2-2E_0Ecos\theta\\{E_e}^2={E_0}^2+E^2-2E_0Ecos\theta+{m_0}^2c^4\cdots\left(7\right)$$
(1)式を整理すると、
$$E_0+m_0c^2=E+E_e\\E_e=E_0-E+m_0c^2\\{E_e}^2=\left(E_0-E+m_0c^2\right)^2\\{E_e}^2={E_0}^2+E^2+{m_0}^2c^4-2E_0E+2E_0m_0c^2-2Em_0c^2\cdots\left(8\right)$$
(7)式、(8)式より、
$$-2E_0Ecos\theta=-2E_0E+2E_0m_0c^2-2Em_0c^2\\E_0Ecos\theta=E_0E-E_0m_0c^2+Em_0c^2\\E_0Ecos\theta-E_0E-Em_0c^2=-E_0m_0c^2\\E=\frac{-E_0m_0c^2}{E_0cos\theta-E_0-m_0c^2}\\=\frac{-E_0}{\frac{E_0}{m_0c^2}\left(cos\theta-1\right)-1}\\=\frac{E_0}{1+\frac{E_0}{m_0c^2}\left(1-cos\theta\right)}$$

このように散乱光子のエネルギーが求まりました。
今回は以上になります。

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