H28年物化生問1-IIその1(放射線取扱主任者)

それでは解説していきます。

まず、
(I)は「6 核異性体転移」
(J)は「3 内部転換」
となります。
これに関しては知識としておさえておきましょう。

次からが本題です。
下図について式を立てていきます。

※電子の質量はm、運動量はp

エネルギー保存則より、
$$E_{\gamma}={E_{\gamma}}^{\prime}+T\cdots\left(1\right)$$
入射方向の運動量保存則から、
$$\frac{E_{\gamma}}{c}=\frac{{E_{\gamma}}^{\prime}}{c}cos\theta+p\cdot cos\phi\cdots\left(2\right)$$
入射方向と垂直方向の運動量保存則から、
$$0=\frac{{E_{\gamma}}^{\prime}}{c}sin\theta-p\cdot sin\phi\cdots\left(3\right)$$

反跳電子の全エネルギーを\(E_e\)とすると、運動エネルギーと静止エネルギーの和から、
$$E_e=T+mc^2$$
相対論より、
$${E_e}^2={\left(mc^2\right)}^2+{\left(pc\right)}^2\\{\left(pc\right)}^2={E_e}^2-{\left(mc^2\right)}^2\\{\left(pc\right)}^2={\left(T+mc^2\right)}^2-{\left(mc^2\right)}^2\cdots\left(4\right)$$

それでは(1)~(4)を解いていきましょう。
まずは\(\phi\)を消去します。

運動量保存則の2式は下記の通りです。
$$\frac{E_{\gamma}}{c}=\frac{{E_{\gamma}}^{\prime}}{c}cos\theta+p\cdot cos\phi\\0=\frac{{E_{\gamma}}^{\prime}}{c}sin\theta-p\cdot sin\phi$$
この2式を整理して、
$$pc\cdot cos\phi=E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}cos\theta\\pc\cdot sin\phi={E_{\gamma}}^{\prime}sin\theta$$
両辺を2乗して、
$${\left(pc\right)}^2\cdot cos^2\phi={E_{\gamma}}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}cos\theta+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2cos^2\theta\\{\left(pc\right)}^2\cdot sin^2\phi={{E_{\gamma}}^{\prime}}^2sin^2\theta$$
辺々加えると、三角関数の公式\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)より、
$${\left(pc\right)}^2={E_{\gamma}}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}cos\theta+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2\cdots\left(I\right)$$

エネルギー保存則の式より、
$$E_{\gamma}={E_{\gamma}}^{\prime}+T\\T=E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}\cdots(II)$$

相対論の式から、
$${\left(pc\right)}^2={\left(T+mc^2\right)}^2-{\left(mc^2\right)}^2$$
式(II)を代入して、
$${\left(pc\right)}^2={\left(E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}+mc^2\right)}^2-{\left(mc^2\right)}^2\\{\left(pc\right)}^2={E_{\gamma}}^2+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2+{\left(mc^2\right)}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}\\-2{E_{\gamma}}^{\prime}mc^2+2E_{\gamma}mc^2-{\left(mc^2\right)}^2\\{\left(pc\right)}^2={E_{\gamma}}^2+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}\\-2{E_{\gamma}}^{\prime}mc^2+2E_{\gamma}mc^2\cdots(III)$$
式(I)と(III)から\({\left(pc\right)}^2\)を消去して、
$${E_{\gamma}}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}cos\theta+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2={E_{\gamma}}^2+{{E_{\gamma}}^{\prime}}^2-2E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}-2{E_{\gamma}}^{\prime}mc^2+2E_{\gamma}mc^2\\-E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}cos\theta=-E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}-{E_{\gamma}}^{\prime}mc^2+E_{\gamma}mc^2\\E_{\gamma}{E_{\gamma}}^{\prime}\left(1-cos\theta\right)=\left(E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}\right)mc^2\\ \frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)=\frac{E_{\gamma}}{{E_{\gamma}}^{\prime}}-1\\ 1+\frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)=\frac{E_{\gamma}}{{E_{\gamma}}^{\prime}}\\{E_{\gamma}}^{\prime}=\frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)}\cdots\left(5\right)$$

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