H28年物化生問1-IIその2(放射線取扱主任者)

前回は下式を求めるところまで解説しました。
$${E_{\gamma}}^{\prime}=\frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)}\cdots\left(5\right)$$

それでは問題文に沿って、エネルギーを波長に変換していきます。
$$E_{\gamma}=h\cdot\frac{c}{\lambda}\rightarrow\lambda=\frac{hc}{E_{\gamma}}\\{E_{\gamma}}^{\prime}=h\cdot\frac{c}{\lambda^{\prime}}\rightarrow\lambda^{\prime}=\frac{hc}{{E_{\gamma}}^{\prime}}$$
\(\lambda^{\prime}\)に式(5)を代入して、
$$\lambda^{\prime}=\frac{hc}{\frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)}}\\=\frac{hc}{E_{\gamma}}\cdot\left\{1+\frac{E_{\gamma}}{mc^2}\left(1-cos\theta\right)\right\}\\=\frac{hc}{E_{\gamma}}+\frac{h}{mc}\left(1-cos\theta\right)$$
したがって、
$$\Delta\lambda=\lambda^{\prime}-\lambda\\=\frac{hc}{E_{\gamma}}+\frac{h}{mc}\left(1-cos\theta\right)-\frac{hc}{E_{\gamma}}\\=\frac{h}{mc}\left(1-cos\theta\right)\cdots\left(6\right)$$

次に(エ)を計算していきます。
まずは式(5)に\(E_{\gamma}=1MeV\)、\(mc^2=0.511MeV\)、\(\theta=60°\)を代入して、散乱光子のエネルギーを求めていきます。
$${E_{\gamma}}^{\prime}=\frac{1}{1+\frac{1}{0.511}\left(1-cos60°\right)}=0.505\cdots MeV$$
散乱光子のエネルギーが求まったので、反跳電子の運動エネルギーを計算します。
エネルギー保存則の式より、
$$T=E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}\\=1-0.505=0.495MeV$$
よって、(エ)の解答は「9 0.49」となります。

分母に0.511が入ってる分数は計算が面倒ですので、概算について考えてみましょう。
$${E_{\gamma}}^{\prime}=\frac{1}{1+\frac{1}{0.511}\left(1-cos60°\right)}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{0.511}\left(1-\frac{1}{2}\right)}\\=\frac{1}{1+\frac{1}{0.511}\cdot\frac{1}{2}}\\\approx\frac{1}{1+\frac{1}{0.5}\cdot\frac{1}{2}}\\=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$
ここで、元の値で計算した場合と値を丸めた場合の大小関係を考えます。
$$0.511>0.5\\\frac{1}{0.511}<\frac{1}{0.5}\\1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0.511}<1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0.5}\\\frac{1}{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0.511}}>\frac{1}{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0.5}}\\{E_{\gamma}}^{\prime}>\frac{1}{2}\\E_{\gamma}-{E_{\gamma}}^{\prime}<1-\frac{1}{2}\\T<\frac{1}{2}=0.5$$
よって、電子の運動エネルギーは0.5よりもほんの少し小さい値になると考えられます。
よって「9 0.49」であると概算できます。

ちなみに、0.5よりも小さい値の選択肢には「8 0.44」があると思われるかもしれませんが、0.511を0.5にした際に2%程度値を丸めただけなので、1割も差が生じることはないでしょう。
本当であれば誤差の伝搬について論じるべきなのでしょうが、そこまで厳密な議論をしたいわけではないので、この辺はある程度感覚でいいと思います。

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