H30年物化生問3-1その1(第1種放射線取扱主任者)


核種1が半減期\(T_1\)(壊変定数\(\lambda_1\))で壊変して核種2となり、さらにその核種2も半減期\(T_2\)(壊変定数\(\lambda_2\))で壊変して安定な核種3となる壊変系列がある。核種1と核種2の原子数を\(N_1\)、\(N_2\)とすると次の(1)、(2)式が成り立つ。
$$\frac{dN_1}{dt}=\left(A\right)\cdots(1)\\ \frac{dN_2}{dt}=\left(B\right)\cdots(2)$$
時間t=0において\(N_1=N_{10}\)とし、核種2は存在しない(\(N_{20}=0\))とすると、次の(3)、(4)式が成り立つ。
$$N_1=N_{10}e^{-\lambda_1t}\cdots(3)\\N_2=\left(C\right)N_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\cdots(4)$$
核種1、核種2の放射能をそれぞれ\(A_1\)、\(A_2\)とする。核種2の放射能\(A_2\)は、(4)式の両辺に\(\lambda_2\)を乗じて、\(\lambda_1N_{10}=A_{10}\)とすると(5)式が得られる。
$$A_2=\left(D\right)A_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\cdots(5)$$

問題の解説の前に、下記の記事で放射性壊変の式について詳しく解説しています。必要に応じてご覧ください。
https://atomicchannel.com/radioactive-decay-1/
https://atomicchannel.com/radioactive-decay-2/
https://atomicchannel.com/radioactive-decay-3/

壊変数はその時点で存在する原子数と壊変定数によって求まる。よって原子数\(N_1\)個で壊変定数\(\lambda_1\)のとき、原子数の変化\(\frac{dN_1}{dt}\)は、
$$\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1 N_1\cdots(1)$$
※原子は壊変により減少するので、マイナスの符号が必要です。

次は核種2の原子数の変化\(\frac{dN_2}{dt}\)についてです。
核種1の場合と同様に、核種2は\(\lambda_2 N_2\)のペースで壊変していきます。しかし、核種2の場合は壊変によって減少するだけでなく、核種1の壊変によって核種2が生じるため、その増分も考慮しなければなりません。
核種1の壊変ペース\(\lambda_1 N_1\)で核種2が増えていくため、下記の式が成立します。
$$\frac{dN_2}{dt}=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2\cdots(2)$$

それでは(1)式と(2)式について解いていきます。

まず(1)式から。
(1)式の両辺をtで積分すると、下記の式が求まります。
$$N_1=N_{10}e^{-\lambda_1t}\cdots(3)$$

次に(2)式についてですが、高校数学の積分の範囲内で解けるように考えていきます。気になる方は微分方程式について調べてみてください。

(2)式の両辺に\(e^{\lambda_2t}\)をかけます。
$$\frac{dN_2}{dt}e^{\lambda_2t}=\lambda_1N_1e^{\lambda_2t}-\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}\cdots(I)$$
(I)式の左辺をtで積分して、部分積分を考えます。
$$\int\frac{dN_2}{dt}e^{\lambda_2t}dt=N_2e^{\lambda_2t}-\int N_2\cdot \lambda_2 e^{\lambda_2t}dt\\=N_2e^{\lambda_2t}- \int \lambda_2 N_2e^{\lambda_2t}dt\cdots(II)$$
(I)式の右辺をtで積分すると下記のようになります。
$$\int\lambda_1N_1e^{\lambda_2t}dt-\int\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}dt\\=\int\lambda_1N_{10}e^{-\lambda_1t}e^{\lambda_2t}dt-\int\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}dt\\=\lambda_1N_{10}\int e^{\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t}dt-\int\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}dt\\=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t}-\int\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}dt+C\cdots(III)\\Cは積分定数$$
(II)式と(III)式を等号で結ぶと下式が成立します。
$$N_2e^{\lambda_2t}- \int \lambda_2 N_2e^{\lambda_2t}dt=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t}-\int\lambda_2N_2e^{\lambda_2t}dt+C\\N_2e^{\lambda_2t}=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t}+C\\N_2=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1t}+\frac{C}{e^{\lambda_2t}}\\N_2=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1t}+Ce^{-\lambda_2t}\cdots(IV)$$
\(t=0\)のとき\(N_2\)は\(N_{20}=0\)となるため、\(t=0\)を(IV)式に代入すると次のようになります。
$$N_{20}=0=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^0+Ce^0\\C=-\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}$$
このCを(IV)式に代入すると下記のようになります。
$$N_2=\lambda_1N_{10}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_1t}-\lambda_1N_{10}\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}e^{-\lambda_2t}\\N_2=\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\cdots(4)$$

正直(4)式に関してはその場で計算すると面倒なので、導出方法を理解した上で暗記しても良いかも知れません。
今回は高校数学の範囲である部分積分を使いましたが、 微分方程式についての知識があればもう少し早く解けると思います。

次は核種1、核種2の放射能\(A_1\)、\(A_2\)についてです。
まず問題文に沿って、(4)の両辺に\(\lambda_2\)を乗じ、\(\lambda_1N_{10}=A_{10}\)として整理します。
$$N_2\lambda_2=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}N_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\\=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)$$
\(\lambda_2N_2\)は核種2の壊変ペース、すなわち核種2の放射能のことですので、
$$A_2=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\cdots(5)$$

今回の解説は以上となります。一応計算過程も全て載せましたが、核種2の原子数の変化などは暗記するのも一つの手かも知れません。しかし、暗記する場合でも導出方法は理解しておいた方が良いです。丸暗記は最終手段として、まずは理解の伴った暗記を心掛けましょう。

次回は放射能\(A_1\)、\(A_2\)から放射平衡について考えていきます。

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