H30年物化生問3-1その2(第1種放射線取扱主任者)


$$A_2=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)\cdots(5)$$
核種1の半減期\(T_1\)が核種2の半減期\(T_2\)よりも大きい(\(T_1>T_2\)、\(又は\lambda_1<\lambda_2\))場合、時間tが十分に経過(\(t>10T_2\)程度)すると、(5)式の\(e^{-\lambda_2t}\)は\(e^{-\lambda_1t}\)に対して無視できるほど小さくなる。
\(A_{10}e^{-\lambda_1t}=A_1\)として、(5)式から放射能\(\frac{A_2}{A_1}\)を\(T_1\)、\(T_2\)で表すと(6)式が得られる。
$$\frac{A_2}{A_1}=\left(E\right)\cdots(6)$$
(6)式から、時間tが十分に経過すると、核種2の放射能が核種1の放射能よりも大きく、その比は一定になる。このような放射平衡状態は過渡平衡と呼ばれる。
また、核種2の放射能が最大となる時間\(t_{max}\)は(5)式で\(\frac{dA_2}{dt}=0\)より、(7)式で求められる。
$$t_{max}=\left(F\right)ln\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{1}{ln2}\times \left(G\right)ln\frac{T_1}{T_2}\cdots(7)$$

先に前回をご覧ください。それでは解説していきます。
(5)(6)式より、
$$\frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_{10}\left(e^{-\lambda_1t}-e^{-\lambda_2t}\right)}{A_{10}e^{-\lambda_1t}}\\=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\left(1-\frac{e^{-\lambda_2t}}{e^{-\lambda_1t}}\right)$$

\(e^{-\lambda_2t}\)が\(e^{-\lambda_1t}\)に対して無視できるほど小さくなる場合、
$$1-\frac{e^{-\lambda_2t}}{e^{-\lambda_1t}}=1$$
と考えることができるため、
$$\frac{A_2}{A_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}$$
壊変定数と半減期の関係\(\lambda=\frac{ln2}{T}\)より、
$$\frac{A_2}{A_1}=\frac{\frac{ln2}{T_2}}{\frac{ln2}{T_2}-\frac{ln2}{T_1}}=\frac{T_1}{T_1-T_2}\cdots(6)$$

(5)をtについて微分すると、
$$\frac{dA_2}{dt}=\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}A_{10}\left(-\lambda_1e^{-\lambda_1t}+\lambda_2e^{-\lambda_2t}\right)$$
よって\(\frac{dA_2}{dt}=0\)のとき、
$$-\lambda_1e^{-\lambda_1t}+\lambda_2e^{-\lambda_2t}=0\\\lambda_2e^{-\lambda_2t}=\lambda_1e^{-\lambda_1t}\\e^{\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\\\left(\lambda_2-\lambda_1\right)t=ln\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\\t=\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}ln\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$$
したがって、
$$t_{max}=\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}ln\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$$

先述の\(\lambda=\frac{ln2}{T}\)より、
$$t_{max}=\frac{1}{\left(\frac{ln2}{T_2}-\frac{ln2}{T_1}\right)}ln\frac{\frac{ln2}{T_2}}{\frac{ln2}{T_1}}\\=\frac{1}{ln2\times\frac{T_1-T_2}{T_1T_2}}ln\frac{T_1}{T_2}\\=\frac{1}{ln2}\frac{T_1T_2}{T_1-T_2}ln\frac{T_1}{T_2}\cdots(7)$$

問題の解説は以上となります。
ちなみに\(\frac{dA_2}{dt}=0\)のときに核種2が最大になる理由については大丈夫でしょうか。分からない方は「極大値」について調べてみてください。

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