H24年物理問9(放射線取扱主任者)

それでは解説していきます。

以下の式を使用して解いていきます。
$$E=\frac{1}{2}mv^2$$
\(E\):エネルギー[\(kg\cdot m^2\cdot s^{-2}=J\)]
\(m\):質量[\(kg\)]
\(v\):速度[\(m\cdot s^{-1}\)]

エネルギーについて、
$$E_{p}=2\times1MeV=2\times1.6\times10^{-19}MJ\\E_{He}=2\times2MeV=4\times1.6\times10^{-19}MJ\\\left(1eV=1.6\times10^{-19}Jとした\right)$$

質量について、
$$m_{p}=1\times1.66\times10^{-27}\\m_{He}=4\times1.66\times10^{-27}\\\left(1u=1.66\times10^{-27}kgとした\right)$$

よって、$$E_{p}=\frac{1}{2}m_{p}{v_{p}}^2\\E_{He}=\frac{1}{2}m_{He}{v_{He}}^2$$
両辺をそれぞれ割ると、
$$\frac{E_{p}}{E_{He}}=\frac{m_{p}}{m_{He}}\times\frac{{v_{p}}^2}{{v_{He}}^2}\\\frac{v_{p}}{v_{He}}=\sqrt{\frac{E_p}{E_{He}}\times\frac{m_{He}}{m_{p}}}\\=\sqrt{\frac{2\times1.6\times10^{-19}}{4\times1.6\times10^{-19}}\times\frac{4\times1.66\times10^{-27}}{1\times1.66\times10^{-27}}}\\=\sqrt{\frac{2}{4}\times\frac{4}{1}}=\sqrt{2}$$

ここで考えてみて欲しいのですが、\(1.6\times10^{-19}\)と\(1.66\times10^{-27}\)は約分されるので考える必要がありません。
そのため、単位を\(J\)や\(kg\)に換算せずに、はじめから下式のように計算することも可能です。
$$\frac{v_{p}}{v_{He}}=\sqrt{\frac{E_p}{E_{He}}\times\frac{m_{He}}{m_{p}}}=\sqrt{\frac{2}{4}\times\frac{4}{1}}=\sqrt{2}$$

しかし、勘違いして欲しくないのは、以下の代入の仕方は間違いであるということです。
$$E_{p}=2MeV=2\times10^6eV、m_{p}=1uを\\E_{p}=\frac{1}{2}m_{p}{v_{p}}^2に代入して\\2\times10^{6}=\frac{1}{2}\times1\times{v_{p}}^2$$

\(E=\frac{1}{2}mv^2\)は両辺の単位が\(J\)であるため、基本的には質量は\(kg\)に、速度は\(m\cdot s^{-1}\)に直す必要があります。
今回の問題のように辺々で割る場合は、単位換算の係数が約分されるため、考えなくても良くなるだけです。

今回の解説は以上となります。

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