H24年化学1(第一種放射線取扱主任者)


ある短寿命核種(半減期T[秒])を1半減期測定したところ、Cカウントであった。測定終了時におけるこの核種の放射能[Bq]はいくらか。ただしこのときの検出効率はεとし、数え落としはないものとする。
$$1、\frac{C}{\varepsilon T} 2、\frac{C}{\varepsilon T} 3、\frac{1}{2}\frac{C}{\varepsilon T} 4、\frac{1}{\sqrt2}\frac{C}{\varepsilon T} 5、\left(ln2\right)\frac{C}{\varepsilon T}$$

最終的に放射能を求めるわけですので、時間経過に伴う放射能の変化に関する式を利用します。
時刻t[s]における放射能をAtとすると
$$A_t=\lambda N_0\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T}…(式1)$$
ここで、N0は時刻t=0[s]における原子数です。
λは壊変定数ですが、半減期Tが既知ですので下記の通りに求まります。
$$\lambda=\frac{ln2}{T}$$
よって、(式1)における未知数はN0だけですので、1半減期測定の情報からN0を求めていきます。

半減期T[s]が経過すると原子数は半分になるので、測定中に壊変した原子数は\(N_0/2\)です。
その間の測定値がCカウント(検出効率ε)ですので、 下記の式が成立します。
$$\frac{N_0}{2}\times \varepsilon =C$$
$$N_0=\frac{2C}{ \varepsilon }$$
※問題文に記述が無いため、今回は1壊変につき目的の放射線が1つ放出されると仮定しています。

λとN0を(式1)に代入すると、
$$A_t=\frac{ln2}{T} \times \frac{2C}{ε} \times \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T}$$
1半減期T[s]測定後の放射能はt=Tを代入して、
$$A_T=\frac{ln2}{T} \times \frac{2C}{ε} \times \frac{1}{2}= \left(ln2\right)\frac{C}{\varepsilon T} $$

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